BARISAN DAN DERET GEOMETRI (DERET UKUR)

Kompetensi Dasar : Menerapkan konsep barisan dan deret geometri.

Tujuan Pembelajaran :

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, diharapkan agar siswa dapat :

1.    Menjelaskan barisan dan deret geometri.

2.    Menentukan suku ke-n suatu barisan geometri.

3.    Menentukan jumlah n suku suatu deret geometri.

4.    Menjelaskan deret geometri tak hingga.

5.    Menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan deret geometri.

A.  Barisan Geometri

    Perhatikan barisan bilangan berikut.

a.       2, 4, 8, 16, ... , 256

b.      128, 64, 32, 16, ...,

c.       (1,02), (1,02)², (1,02)³, ..., (1,02)¹⁵

Pada barisan a), setiap suku yang berurutan diperoleh dengan mengalikan 2 dari suku sebelumnya. Pada barisan b), setiap suku yang berurutan diperoleh dengan mengalikan 0,5 dari suku sebelumnya. Pada barisan c), setiap suku yang berurutan diperoleh dengan mengalikan 1,02 dari suku sebelumnya. Barisan – barisan tersebut merupakan barisan geometri, bilangan – bilangan 2; 0,5; 1,02 disebut rasio atau pembanding. Barisan geometri adalah suatu barisan dengan perbandingan antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Barisan U₁, U₂, U₃, ..., U_n disebut barisan geometri jika

Misalkan U₁, U₂, U₃, ..., U_n adalah barisan geometri dengan perbandingan dua suku yang berurutan adalah r dan suku pertama a.

U₁ = a = ar⁰ =ar^1-1

U₂ = U₁r = ar =ar^2-1

U₃ = U₂r = ar² =ar^3-1

dst

U_n = U_n-1r  =ar^n-1

Jadi rumus suku ke-n suatu barisan U_n = ar^n-1

Contoh :

1.   Diketahui barisan geometri : 2, 4, 8, 16, ... Tentukan suku pertama, rasio, rumus suku-n dan suku ke-7.

Jawab :

Suku pertama (U₁) = a = 2

Rasio (r) = 2

Rumus suku ke-n : U_n = ar^n-1

                                     = 2.2^n-1

                                     = 2ⁿ

Suku ke-7 (U₇) = 2⁷ = 128

2.      Diketahui suatu barisan geometri dengan a = 128 dan r = ¼. Tuliskan barisan geometri tersebut hingga lima suku pertamanya.

Jawab :

U₁ = a = 128

U₂ = ar =128.1/4 = 32

U₃ = U₂r = 32.1/4 = 8

U₄ = U₃r = 8.1/4= 2

U₅ = U₄r = 2.1/4= 1/2

Jadi barisan geometri tersebut adalah 128, 32, 8, 2, 1/2

Suku Tengah Barisan Geometri :

Misalkan suatu barisan geometri dengan banyak suku ganjil, sebesar  n = 2t – 1 dengan t ≥ 2. Suku tengah barisan geometri tersebut adalah suku ke – t dan ditentukan dengan rumus

Contoh :

Diberikan barisan geometri 2, 4, 8, ..., 2048. Tentukan :

a.       Suku tengahnya.

b.      Suku ke berapakah suku tengahnya.

c.       Banyak suku barisan tersebut.

Jawab :

a.       Misal banyak suku barisan tersebut adalah 2t – 1, a = 2, r = 2 dan U_n = U_{2t – 1} = 2048

Suku tengahnya Ut = 64

b.      U_t           = 64

a.r^{t – 1}     = 64

2.2^{t – 1}    = 64

2^t            = 2⁶

t              = 6 Jadi suku tengah merupakan suku ke – 6.

c.       Banyak suku barisan tersebut adalah 2t – 1 = 2.6 – 1 = 11.

Sisipan Barisan Geometri :

Di antara dua bilangan x dan y disisipkan k buah bilangan sehingga bilangan – bilangan semula dengan bilangan – bilangan yang disisipkan membentuk barisan geometri. Rasio barisan bilangan yang terbentuk adalah

Contoh :

Di antara bilangan 3 dan 2187 disisipkan 5 buah bilangan sehingga bilangan – bilangan semula dengan bilangan – bilangan yang disisipkan membentuk barisan geometri. Tentukan rasio dari barisan yang terbentuk.

Jawab :

Rasio r = 3

B.  Deret Geometri (Deret Ukur)

Deret geometri merupakan jumlahan beruntun suku – suku barisan geometri. Jika                     U₁, U₂, U₃, ..., U_n merupakan barisan geometri maka U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n merupakan deret geometri dengan U_n adalah suku ke-n. Jumlah n suku pertama deret tersebut ditulis

S_n = U₁ + U₂      + U₃        + ... + U_n

S_n = a    + ar        + ar²        + ... + ar^n-1 .................. (i)

Jika persamaan (i) dikalikan r diperoleh

rS_n = ar    + ar²        + ar³        + ... + arⁿ .................. (ii)

Dengan mengurangkan persamaan (i) dan (ii) diperoleh

S_n – rS_n  = a - arⁿ

S_n(1 – r) = a(1 – rⁿ)

Jadi, secara umum rumus jumlah n suku pertama deret geometri sebagai berikut :

di mana S_n = jumlah n suku pertama

Untuk setiap n Î bilangan asli berlaku hubungan S_n – S_{n – 1} = U_n.

Contoh :

1.      Tentukan jumlah 10 suku pertama deret geometri 3 + 6 + 12 + 24 + ...

a = U₁ = 3

r = 2

S₁₀  = 3.069

2.      Suatu deret geometri dinyatakan 2 + 2² + 2³ + ... + 2ⁿ = 510. Carilah nilai n.

Jawab :

a = U₁ = 2

r = 2

S_n   = 510

510 = 2ⁿ⁺¹ – 2

512 = 2ⁿ⁺¹

2⁹   = 2ⁿ⁺¹ ® n+1= 9 ® n = 8

C.  Deret Geometri Tak Hingga

     Amati gambar berikut! Apa pendapatmu tentang gambar tersebut? Jelaskan!

Deret geometri tak hingga adalah deret geometri yang banyak suku – sukunya tak hingga.             S_~  = U₁ + U₂ + U₃ + ... = a + ar + ar² + ... Deret geometri tak hingga terdiri atas dua jenis yaitu konvergen dan divergen.

Jika deret geometri tak hingga dengan – 1 < r < 1 maka jumlah deret geometri tak hingga tersebut mempunyai limit jumlah (konvergen) yaitu

      di mana

S_~ = jumlah deret geometri tak hingga

a   = suku pertama

r   = rasio.

Contoh :

Tentukan jumlah deret geometri tak hingga 2 + 1 + 0,5 + ...

Jawab :

a = 2, r = 0,5 (konvergen).

S~ = 4

       Jika r ≤ - 1 atau r ≥ 1 maka deret geometrinya tak hingga akan divergen yaitu jumlah suku – sukunya tidak terbatas atau tidak menuju bilangan tertentu.

Contoh :

Deret geometri tak hingga divergen :

a.       – 2 + 4 + (- 8) + 16 + ...  mempunyai rasio r = - 2 < 1 sehingga tidak mempunyai limit jumlah.

b.      5 + 15 + 45 + 135 + ... mempunyai rasio r = 3 > 1 sehingga tidak mempunyai limit jumlah.

D.  Latihan 3

1.      Tentukan tiga suku berikutnya dari barisan : 100, 50, 25, ...

2.      Tentukan rumus suku ke-n dan suku ke- 9 dari barisan geometri 1, 2, 4, ...

3.      Tentukan suku ke-6 dari barisan geometri yang diketahui U₂ = - 20 dan         U₄ = - 5.

4.      Seutas kabel akan dipotong menjadi 7 bagian. Panjang dari masing – masing kabel membentuk barisan geometri. Jika bagian terpendek 5 cm dan terpanjang 320 cm maka tentukan panjang kabel tersebut.

5.      Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret geometri1 + 1,5 + (1,5)² + (1,5)³ + ....

6.    Diketahui barisan geometri dengan suku ke-5 = 162 dan suku ke-2 = - 6. Tentukan rasio barisan tersebut.

7.    Diketahui jumlah deret geometri tak hingga adalah 156,25 sedangkan suku pertamanya 125. Tentukan rasionya.

8.   Setiap 5 tahun, jumlah penduduk di sebuah kota bertambah menjadi 2 kali lipat dari jumlah semula. Jika ditaksir pada tahun 2008 penduduk menjadi 4 juta orang maka tentukan jumlah penduduk kota itu pada tahun 1983.

9.  Suatu barisan geometri mempunyai U₃ = 12 dan U₅ = 147. Tentukan suku ke – 6 barisan tersebut.

10. Diketahui barisan geometri: 3.645, 1.215, 405, ..., 5. Tentukan banyak suku pada barisan tersebut. 

Video pembelajaran dari youtube dengan link : 

https://www.youtube.com/watch?v=sVZLpOkzqbk&spfreload=5