KEGIATAN
PEMBELAJARAN : KAIDAH PENCACAHAN
Kompetensi
Dasar : Mendeskripsikan Kaidah Pencacahan, Permutasi dan
Kombinasi
Tujuan
Pembelajaran :
Setelah mempelajari
uraian pada kegiatan pembelajaran ini, diharapkan agar siswa dapat:
1. Menjelaskan
pengertian kaidah pencacahan, faktorial, permutasi dan kombinasi.
2. Menentukan banyak cara menyelesaikan masalah dengan kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi.
2. Menentukan banyak cara menyelesaikan masalah dengan kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi.
3. Menyelesaikan
masalah dengan menggunakan kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi.
KAIDAH
PENCACAHAN
Kaidah pencacahan (Counting Rules) didefinisikan sebagai
suatu cara atau aturan untuk menghitung semua kemungkinan yang dapat terjadi
dalam suatu percobaan tertentu. Terdapat beberapa metode dalam kaidah
pencacahan di antaranya : metode aturan pengisian tempat (Filling Slots), metode permutasi dan metode kombinasi.
Permasalahan :
Anton mempunyai
3 kaos yang berwarna putih, merah dan biru serta mempunyai 2 celana panjang
yang berwarna hitam dan cokelat. Tentukan kemungkinan – kemungkinan Anton
memakai kaos dan celana panjang!
Penyelesaian :
Terdapat 3 cara
untuk menentukan kemungkinan – kemungkinan Anton memakai kaos dan celana
panjang.
c. Himpunan
pasangan terurut
{(Putih, Hitam), (Putih, Cokelat),
(Merah, Hitam), (Merah, Cokelat), (Biru, Hitam), (Biru, Cokelat)}
Dari ketiga cara
di atas, dapat disimpulkan banyak cara Anton memakai kaos dan celana
panjang = 6 cara = 3 × 2 = banyak cara memakai kaos × banyak cara memakai celana
panjang.
panjang = 6 cara = 3 × 2 = banyak cara memakai kaos × banyak cara memakai celana
panjang.
Aturan
Perkalian :
Jika suatu
kejadian dapat terjadi dalam n tahap yang saling berurutan di mana tahap 1
dapat terjadi dalam q1 cara, tahap 2 dapat terjadi dalam q2
cara, tahap 3 dapat terjadi dalam q3 cara demikian seterusnya sampai
tahap ke – n dapat terjadi dalam qn cara maka kejadian tersebut
dapat terjadi secara berurutan dalam q1 × q2 × q3
× ... × qn cara berbeda.
Contoh :
Berapa banyak
cara untuk memilih 3 pengurus OSIS yang terdiri dari ketua, sekretaris dan
bendahara dari 8 orang siswa?
Penyelesaian :
Tertapat 3
tempat untuk mengisi posisi ketua, sekretaris dan bendahara sebagai berikut :
Ketua Sekretaris Bendahara
Dari 8 siswa tersebut, semuanya
berhak dipilih menjadi ketua sehingga ada 8 cara untuk mengisi posisi ketua.
Karena 1 orang sudah menjadi ketua maka tinggal 7 orang yang berhak dipilih
menjadi sekretaris sehingga ada 7 cara untuk mengisi posisi sekretaris. Karena
1 orang sudah menjadi ketua dan 1 orang sudah menjadi sekretaris maka tinggal 6
orang yang berhak dipilih menjadi bendahara sehingga ada 6 cara untuk mengisi
bendahara.
8
|
7
|
6
|
Ketua Sekretaris Bendahara
Banyak cara memilih 3 pengurus OSIS
tersebut adalah 8 × 7 × 6 = 336
Aturan Penjumlahan
Misalkan suatu
kejadian dapat terjadi dalam n cara yang berlainan (saling asing) dimana dalam
cara pertama terdapat p1 kemungkinan hasil yang berbeda, dalam cara
kedua terdapat p2 kemungkinan
hasil yang berbeda, dalam cara ketiga terdapat p3 kemungkinan hasil
yang berbeda demikian seterusnya sampai cara yang ke – n terdapat pn
kemungkinan hasil yang berbeda maka total banyak kemungkinan kejadian dalam
peristiwa tersebut adalah p1 + p2 +
p3 + ... + pn cara berbeda.
Contoh
:
Hendro seorang pelajar SMK. Hendro mempunyai tiga
jenis alat transportasi dari rumah ke sekolah yaitu sepeda (sepeda mini, sepeda
gunung), sepeda motor (yamaha, honda, suzuki) dan mobil (sedan, kijang,
pick-up). Berapa banyak cara Hendro berangkat dari rumah ke sekolah?
Penyelesaian
:
Alat transportasi yang digunakan Hendro dari rumah
ke sekolah hanyalah salah satu saja yaitu sepeda atau sepeda motor atau mobil,
tidak mungkin dia menggunakan lebih dari satu kendaraan dalam waktu yang
bersamaan. Banyak cara Hendro berangkat
dari rumah ke sekolah adalah banyak cara memakai sepeda + banyak cara memakai
sepeda motor + banyak cara memakai mobil = 2 + 3 + 3 = 8 cara.
Notasi
Faktorial
Misalkan n Î
himpunan bilangan asli. Notasi n! (dibaca : n faktorial) didefinisikan hasil
kali bilangan – bilangan asli berurutan dari n sampai 1.
Ditulis n! = n × (n – 1) × (n – 2)
× ... × 3 × 2 × 1.
Didefinisikan 1! = 1 dan 0! = 1.
Contoh :
a. Tentukan
nilai dari 5!.
Penyelesaian :
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
b. Tentukan
nilai dari 2! + 3!.
Penyelesaian :
2! + 3! = (2 × 1) + (3 × 2 × 1) = 2 × 6 =
12
Latihan
Jawablah pertanyaan – pertanyaan berikut
dengan lengkap dan benar!
1) Eko
memiliki 3 buah sepatu, 5 buah kaos kaki dan 4 buah tali sepatu. Berapa banyak
cara
Eko dapat memakai sepatu, kaos kaki dan tali sepatu?
2) Dari
kota A ke kota B dapat dilalui oleh 5 jalur. Dari kota B ke kota C dapat
dilalui 4 jalur. Berapa jalur dapat dilalui dari kota A ke kota C dan kembali
ke kota A melewati kota B tetapi tidak boleh melewati jalur yang sama?
3) Dari
angka – angka 1, 2, 3, 4, 5 dan 6 akan disusun bilangan yang terdiri dari 4 angka.
Tentukan banyak bilangan yang dapat disusun jika angka – angkanya boleh
berulang!
4) Berapa
banyak bilangan asli yang lebih kecil dari 400, yang dapat dibentuk dari angka
– angka 1, 2, 3, 4, 5 dan 6, bila tidak boleh ada pengulangan angka?
5) Dalam
suatu pertandingan yang diikuti oleh 10 peserta, berapa banyak kemungkinan yang
berbeda dari pemberian medali emas, perak dan perunggu?
2.
Permutasi
Permutasi adalah
susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan obyek yang diambil sebagian
atau seluruhnya dengan merperhatikan urutannya. “Memperhatikan urutannya”
maksudnya susunan AB dan BA dianggap kejadian yang berbeda. Sebagai contoh, di
dalam suatu kelas telah terpilih 3 calon untuk menduduki jabatan ketua,
sekretaris dan bendahara. Ketiga calon terpilih tersebut adalah A, B dan C.
Kemungkinan susunan kepengurusan kelas tersebut adalah sebagai berikut :
Ada 6 susunan kepengurusan yang mungkin.
Macam – macam permutasi
:
1.
Permutasi n unsur dari n unsur
berbeda
Banyak cara untuk menyusun n unsur
yang diambil dari n unsur dengan memperhatikan urutannya dinyatakan dengan
P(n,n) atau nPn yang dirumuskan sebagai berikut :
P(n,n) = n!
Contoh 1 :
Dari 4 calon pengurus OSIS, berapa
kemungkinan susunan yang dapat dibentuk untuk menentukan sekaligus ketua, wakil
ketua, bendahara dan sekretaris.
penyelesaian :
Susunan calon pengurus OSIS yang
terbentuk adalah P(4,4) = 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24.
Contoh 2 :
Tentukan susunan huruf yang dapat
dibentuk dari kata “ LUANG” jika susunan huruf tersebut terdiri atas lima huruf
berbeda.
Penyelesaian :
Susunan huruf yang mungkin adalah
P(5,5) = 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120.
2.
Permutasi k unsur dari n unsur
berbeda (k ≤ n)
Banyak
cara untuk menyusun k unsur yang diambil dari n unsur dengan memperhatikan
dinyatakan dengan P(n,k) atau nPk yang dirumuskan sebagai berikut :
Contoh
1 :
Tentukan
banyaknya kemungkinan dalam pemilihan ketua kelas dan wakil ketua kelas jika
ada 6 orang calon.
Penyelesaian
:
Banyak
kemungkinan = P(6,2) = 30
Contoh
2 :
Dari
huruf – huruf A, B, C, D, E, F, tentukan susunan huruf yang terdiri dari 3
huruf berbeda.
Penyelesaian
:
Banyak
susunan huruf = P(6,3) = 120
3.
Permutasi dengan beberapa unsur
sama.
Jika dari n unsur yang tersedia
terdapat n1 unsur sama, n2 unsur sama dan seterusnya maka
banyak permutasi adalah
Contoh :
Tentukan banyak susunan huruf
berbeda pada kata AKUNTAN
Penyelesaian :
Banyak huruf (n) = 7, banyak huruf
A = 2, banyak huruf N = 2
4.
Permutasi siklis
Amati gambar berikut! Apa pendapatmu tentang gambar tersebut? Jelaskan!
Permutasi siklis adalah suatu cara untuk menentukan susunan unsur yang disusun secara siklis atau melingkar dengan memperhatikan urutannya. Banyak permutasi siklis dari n unsur berbeda adalah : P = (n – 1)!
Permutasi siklis adalah suatu cara untuk menentukan susunan unsur yang disusun secara siklis atau melingkar dengan memperhatikan urutannya. Banyak permutasi siklis dari n unsur berbeda adalah : P = (n – 1)!
Contoh :
Dalam suatu pertemuan, ada 8
peserta akan menempati 8 kursi yang mengelilingi meja bundar. Berapa banyak
susunan yang mungkin terjadi?
Penyelesaian :
Banyak susunan yang mungkin terjadi
= (8 – 1)! = 7! = 5040.
5.
Permutasi berulang
Banyak permutasi r unsur yang
diambil dari n unsur yang tersedia dengan tiap unsur yang tersedia boleh
ditulis berulang adalah P = nr
Contoh :
Berapa banyak susunan 3 huruf yang
diambil dari huruf – huruf K, A, M, I dan S jika unsur – unsur yang tersedia
boleh ditulis berulang.
Penyeleaian :
Banyak susunannya = 53 = 125.
Latihan
3
Jawablah
pertanyaan – pertanyaan berikut dengan lengkap dan benar!
1. Terdapat buah mangga, jeruk, apel dan
salak. Masing – masing satu buah akan disusun berjajar. Tentukan banyak susunan
yang dapat dibentuk dari buah – buahan tersebut!
2. Dari angka – angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9 akan disusun bilangan – bilangan yang terdiri atas dua angka yang
berbeda.Tentukan banyak susunan bilangan yang mungkin terjadi!
3. Suatu kelompok pengajian ibu – ibu
mempunyai anggota 10 orang. Apabila setiap pengajian duduknya melingkar maka
tentukan banyak cara posisi ibu – ibu duduk!
4. Dari 8 siswa akan dipilih 3 orang siswa
untuk menduduki jabatan ketua, sekretaris dan bendahara. Tentukan banyak susunan
berbeda yang mungkin terjadi!
5. Tentukan banyaknya nomor sambungan
pesawat telepon terdiri dari 5 angka berbeda yang dapat dibentuk dari 8
bilangan asli yang pertama dengan syarat tidak boleh berulang!
6.
Tentukan banyak kata yang dapat disusun
dari kata “MISSISIPPI”!
7. Berapa banyak cara menyusun 5 bola
hitam, 3 bola merah dan 2 bola putih secara berdampingan!
8. Tujuh mutiara berlainan warna akan
disusun menjadi sebuah kalung. Berapa banyak susunan yang mungkin terjadi!
9. Tentukan banyak susunan 4 huruf dari
kata SEMBILAN jika unsur – unsur yang tersedia boleh ditulis ulang!
10. Ruang
rapat terdiri dari 15 kursi. Peserta yang hadir hanya 8 orang. Berapa cara
peserta yang hadir menduduki kursi rapat secara berdampingan!
3.
Kombinasi
Amati gambar berikut! Apa pendapatmu tentang gambar tersebut? Jelaskan!
Kombinasi adalah suatu susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan objek (setiap objek berbeda) yang diambil sebagian atau seluruhnya tanpa memperhatikan urutannya / secara acak atau secara random. Sebagai contoh, jika dalam lemari es berisi tape, nanas dan kolang – kaling maka cara si penjual es dalam memasukkan isi es ke dalam gelas dapat berupa (tape, nanas, kolang – kaling), (tape, kolang – kaling, nanas), (nanas, tape, kolang – kaling), (nanas, kolang – kaling, tape), (nanas, kolang – kaling, tape), (kolang – kaling, nanas, tape) dan (kolang – kaling, tape, nanas). Bagaimanapun cara memasukkan isi es tersebut ke dalam gelas, hasilnya akan sama yaitu es kombinasi yang berisi 3 macam tadi. Kombinasi r unsur dari n unsur yang tersedia dirumuskan
Kombinasi adalah suatu susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan objek (setiap objek berbeda) yang diambil sebagian atau seluruhnya tanpa memperhatikan urutannya / secara acak atau secara random. Sebagai contoh, jika dalam lemari es berisi tape, nanas dan kolang – kaling maka cara si penjual es dalam memasukkan isi es ke dalam gelas dapat berupa (tape, nanas, kolang – kaling), (tape, kolang – kaling, nanas), (nanas, tape, kolang – kaling), (nanas, kolang – kaling, tape), (nanas, kolang – kaling, tape), (kolang – kaling, nanas, tape) dan (kolang – kaling, tape, nanas). Bagaimanapun cara memasukkan isi es tersebut ke dalam gelas, hasilnya akan sama yaitu es kombinasi yang berisi 3 macam tadi. Kombinasi r unsur dari n unsur yang tersedia dirumuskan
Contoh 1 :
Ada 12 pemain bola basket yang akan
bertanding. Dalam menit – menit pertama akan diturunkan 5 orang. Berapa
banyaknya cara yang mungkin terjadi?
Penyelesaian :
Banyak cara yang mungkin terjadi adalah
C(n,r) = 792
Contoh 2 :
Tiga bola diambil dari kotak yang berisi
5 bola merah, 3 bola putih dan 2 bola biru. Tentukan banyak cara pengambilan
tiga bola yang terdiri dari 2 bola merah dan 1 bola biru.
Jawab :
Tersedia 5 bola merah dan akan diambil 2
bola, banyak cara pengambilannya
= C(5,2) = 10.
Tersedia 2 bola biru dan akan diambil 1
bola, banyak cara pengambilannya
= C(2,1) = 2.
Banyak cara pengambilan tiga bola yang
terdiri dari 2 bola merah dan 1 bola biru adalah 10 × 2 = 20.
Latihan 4
Jawablah pertanyaan – pertanyaan berikut
dengan lengkap dan benar!
1. Dalam suatu ujian remidial yang
pesertanya 8 orang, guru penguji akan memanggil 2 orang sekaligus. Tentukan
banyak susunan berbeda yang mungkin!
2. Dari 10 orang pemain bola volly akan
dibentuk tim bola volly yang terdiri 6 orang. Tentukan banyak tim berbeda yang
dapat dibentuk!
3. Suatu tim bulu tangkis terdiri dari 3
putra dan 2 putri. Jika akan dibentuk pasangan ganda campuran maka tentukan
banyak pasangan yang mungkin terbentuk!
4. Rapat dihadiri oleh 10 orang. Akan
dipilih 3 orang untuk berbicara. Tentukan banyak cara untuk memilih tiga orang
tersebut!
5. Sally akan membeli 3 kambing dan 4 sapi
dari seorang pedagang yang memiliki 6 kambing dan 7 sapi. Dengan berapa cara
Sally dapat memilih kambing dan sapi!
6. Dalam sebuah kotak terdapat 6 kelereng
hijau, 3 kelereng merah dan 1 kelereng putih. Akan diambil 3 kelereng dari
kotak itu.Tentukan banyak cara mengambil 3 kelereng tersebut!
7. Terdapat 4 macam warna cat yaitu merah,
kuning, biru dan putih. Seorang tukang cat ingin membuat warna yang baru dengan
mencampur dua warna cat dengan perbandigan yang sama. Berapa warna baru yang
diperoleh?
8. Ada 10 titik dan tidak ada tiga titik
yang terletak segaris. Berapa banyak segitiga yang dapat dibentuk dari titik –
titik tersebut?
9. Doni akan membuat sup dengan 5 jenis
sayuran yang berbeda dan 3 jenis tanaman herbal. Doni mempunyai 12 jenis
sayuran dan 6 jenis tanaman herbal untuk dipilih. Berapa banyak jenis sup
berbeda yang dapat dibuat oleh Doni?
10. Misalkan kamu menemukan
7 jenis artikel yang sesuai dengan tema penelitian. Tentukanberapa banyak cara kamu dapat memilih kurang dari 5 artikel untuk dibaca.
Sip buu...anak dpt informasi tentang materi ini dg berkunjung
BalasHapusBagus...isi blognya
BalasHapusBagus Bu...
BalasHapusHappy Blogging...
silahkan kunjungi blog saya bu:
RUMAH IPA SD
Makasih kak ilmu nya,, izin copy yaa kak buat tugas🙏
BalasHapusizin copas ya kak buat grup wa ku yang kubuat
BalasHapusizin share
BalasHapusMakasih kak atas ilmunya, izin share
BalasHapusterima kasih kak
BalasHapussangat bermanfaat
Terima kasih bu, membantu saya belajar sebelum tes
BalasHapusSomoga bermanfaat 😁😁😁
BalasHapusMakasih kakaa
BalasHapusMantap bosss
BalasHapusMakasih atas penjelasannya
BalasHapusMakasih
BalasHapusmakasi pak, ijin share ya kak
BalasHapusmaksut saya kak
HapusDiberikan angka 012345
HapusMakasih, ini cara ngerjainnnya masih bingung
BalasHapusTerima kasih Bu. Izin Share.
BalasHapusMksih Pak pembelajarannya tapi kurang tau pak cara mengerjakannya
BalasHapusPak aturan-aturan yang terdapat dalam kaidah pencacahan adalah??
BalasHapusPak cara kaidah pencacahan diberikan angka 012345 yang 5 gimana cara hitung
BalasHapussangat menginspirasi, terimakasih🙏🏻
BalasHapusJawaban nya untuk latian 3 dimana ?
BalasHapusMakasih atas pembelajarannya
BalasHapussangat mudah dipahami oleh siswa di sertai contoh nya
BalasHapusMakasih
BalasHapus